هناك طريقة مشهورة
على ما يبدو لصنع الشوكولاته من لا شيء.
ربما رأيت ذلك من قبل. شريط الشوكولاتة هذا
4 مربعات في 8 مربعات ، لكن إذا قمت بقصها هكذا
ثم هكذا وأخيرًا مثل هذا
يمكنك إعادة ترتيب القطع هكذا
وتنتهي بنفس 4 في 8
شريط ولكن بقطعة بقايا تم إنشاؤها على ما يبدو
نفذ من الهواء الرفيع. هناك رسوم متحركة مشهورة لهذا الوهم
كذلك. أسميها وهم لأن
إنه فقط كذلك. مزورة. في الواقع،
الشريط الأخير أصغر قليلاً. أنه يحتوي على
هذا أقل من الشوكولاته. كل مربع على طول القطع أقصر مما كان عليه
الأصلي،
لكن القطع يجعل من الصعب ملاحظته على الفور. الرسوم المتحركة
تضليل إضافي ، لأنه يحاول التستر على خداعه.
الارتفاع المفقود لكل مربع يكون خلسة
تمت إضافته أثناء تحرك القطعة لتجعل من الصعب ملاحظتها.
أعني ، هيا ، من الواضح أنك لا تستطيع تقطيع لوح شوكولاتة
وأعد ترتيب القطع إلى أكثر مما بدأت به.
أو يمكنك؟ واحدة من أغرب
النظريات في الرياضيات الحديثة هي Banach-Tarski
المفارقة.
إنه يثبت أن هناك ، في الواقع ، طريقة لأخذ شيء ما
وافصله إلى 5
قطع مختلفة.
وبعد ذلك ، بهذه القطع الخمس ، ببساطة
أعد ترتيبهم. لا تمتد إلى المطلوب
نسختين طبق الأصل
بند. نفس الكثافة ، نفس الحجم ،
نفس كل شيء.
بجدية. للغطس في ضربة العقل
هذا هو والطريقة التي يطرح بها أسئلة أساسية عن الرياضيات
وأنفسنا ، علينا أن نبدأ بطرح بعض الأسئلة.
أولا ، ما هو اللانهاية؟
رقم؟ أعني ، لا يوجد مكان
على خط الأعداد ، ولكن غالبًا ما نقول أشياء مثل
هناك "عدد" لانهائي من كذا وكذا.
وبقدر ما نعلم ، يمكن أن تكون اللانهاية حقيقية.
قد يكون الكون لانهائي الحجم
ومسطحة ، تمتد إلى الأبد وإلى الأبد
بلا نهاية ، حتى ما وراء الجزء الذي يمكننا ملاحظته
أو أي وقت مضى يأمل في المراقبة.
هذا هو بالضبط ما هو اللانهاية. ليس رقما
في حد ذاته ، ولكن بالأحرى الحجم. الحجم
لشيء لا ينتهي. إنفينيتي ليست الأكبر
الرقم ، بدلاً من ذلك ، هو عدد الأرقام
يوجد. لكن هناك أحجام مختلفة من اللانهاية.
أصغر نوع من اللانهاية هو
اللانهاية المعدودة. عدد الساعات
إلى الأبد. إنه أيضًا عدد الأعداد الصحيحة الموجودة ،
العدد الطبيعي ، الأرقام التي نستخدمها عند العد
أشياء ، مثل 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6
وهلم جرا. مجموعات مثل هذه لا تنتهي ،
لكنهم معدودون. قابل للعد يعني أنه يمكنك عدهم
من عنصر إلى أي عنصر آخر في
كمية محدودة من الوقت ، حتى لو كانت تلك المدة الزمنية المحددة أطول منك
سيعيش
أو الكون سيوجد لأنه لا يزال محدودًا.
من ناحية أخرى ، فإن اللانهاية غير المعدودة هي حرفياً
أكبر. أكبر من أن تعد.
عدد الأعداد الحقيقية الموجودة ،
ليس فقط الأعداد الصحيحة ، ولكن كل الأعداد كذلك
لا حصر له. لا يمكنك الاعتماد حرفيا
حتى من 0 إلى 1 في فترة زمنية محدودة عن طريق التسمية
كل رقم حقيقي بينهما. انا اعني،
من أين تبدأ؟ صفر،
حسنا. لكن ماذا بعد ذلك؟ 0.000000 ...
في النهاية ، نتخيل 1
الذهاب إلى مكان ما في النهاية ، ولكن ليس هناك نهاية.
يمكننا دائمًا إضافة 0 آخر
يجعل هذه المجموعة أكبر بكثير من مجموعة جميع الأعداد الصحيحة
أنه حتى بين 0 و 1 ، هناك المزيد من الأرقام
من وجود أعداد صحيحة على خط الأعداد اللانهائي بأكمله.
تساعد حجة جورج كانتور القطرية الشهيرة
وضح هذا. تخيل سرد كل رقم
بين صفر وواحد. نظرًا لأنها غير معدودة ولا يمكن سردها بالترتيب ،
دعونا نتخيل توليدها بشكل عشوائي إلى الأبد
مع عدم وجود تكرارات. يمكن إقران كل رقم يتم تجديده
برقم صحيح. إذا كان هناك تطابق واحد لواحد بين الاثنين ،
هذا إذا كان بإمكاننا مطابقة عدد صحيح واحد مع كل رقم حقيقي
في قائمتنا ، فهذا يعني أنه قابل للعد
والمجموعات غير المعدودة لها نفس الحجم. لكن لا يمكننا فعل ذلك ،
على الرغم من أن هذه القائمة تطول
أبدا. إلى الأبد لا يكفي. شاهد هذا.
إذا ذهبنا بشكل مائل إلى أسفل قائمتنا التي لا نهاية لها
من الأعداد الحقيقية وتأخذ العلامة العشرية الأولى من الرقم الأول
والثاني من الرقم الثاني ، والثالث من الثالث وهكذا
وأضف واحدًا إلى كل منهما مطروحًا منه
إذا كان الرقم تسعة ، فيمكننا إنشاء قيمة جديدة
الرقم الحقيقي الذي من الواضح أنه بين 0 و 1 ،
ولكن منذ أن حددناها على أنها مختلفة
من كل رقم في قائمتنا اللانهائية ومكان واحد على الأقل
من الواضح أنه غير وارد في القائمة.
بعبارة أخرى ، لقد استخدمنا كل عدد صحيح ،
كل ما لا نهاية لهم ومع ذلك لا يزال بإمكاننا
الخروج بأرقام حقيقية أكثر. هذا شيء آخر صحيح
لكن غير بديهي. هناك نفس الرقم
حتى من الأعداد الزوجية
والأرقام الفردية. في البداية ، يبدو هذا سخيفًا. من الواضح أنه لا يوجد سوى النصف
أكبر عدد ممكن
الأرقام الزوجية مثل جميع الأعداد الصحيحة ، لكن هذا الحدس خاطئ.
مجموعة جميع الأعداد الصحيحة هي أكثر كثافة
يمكن مطابقة كل رقم زوجي مع رقم صحيح.
لن تنفد أبدًا من الأعضاء أيًا من المجموعتين ، لذا فهذه المراسلات الفردية
يوضح أن كلا المجموعتين من نفس الحجم.
بمعنى آخر ، اللانهاية مقسمة بص اثنان
لا يزال اللانهاية.
إن ما لا نهاية زائد واحد هو أيضًا ما لا نهاية.
ومن الأمثلة الجيدة على ذلك مفارقة هيلبرت
فوق فندق جراند. تخيل فندق
مع عدد لا حصر له من الغرف. لكن الآن،
تخيل أن هناك شخصًا محجوزًا في كل غرفة.
على ما يبدو ، إنه محجوز بالكامل ، أليس كذلك؟ لا.
مجموعات لانهائية تتعارض مع الفطرة السليمة.
كما ترى ، إذا ظهر ضيف جديد وأراد غرفة ،
كل ما على الفندق فعله هو نقل النزيل إلى الغرفة رقم 1
إلى الغرفة رقم 2. ونزيل من الغرفة 2 إلى الغرفة 3 ومن 3 إلى 4 ومن 4 إلى
5 وهلم جرا.
لأن عدد الغرف لا ينتهي أبدًا
لا يمكننا نفاد الغرف. ما لا نهاية
-1 هو أيضًا ما لا نهاية مرة أخرى.
إذا غادر أحد النزلاء الفندق ، فيمكننا الانتقال
كل ضيف في الاتجاه الآخر. يذهب الضيف 2 إلى الغرفة 1 ،
3 إلى 2 ، 4 إلى 3 وهكذا ، لأن لدينا
عدد لا حصر له من الضيوف. هذا هو العرض الذي لا ينتهي لهم.
لن تترك أي غرفة فارغة. كما تبين،
يمكنك طرح أي عدد محدد من اللانهاية
ويبقى مع اللانهاية. لا يهم.
إنه لا ينتهي. لم يترك Banach-Tarski أنظارنا بعد.
كل هذا مرتبط. نحن الآن جاهزون للمضي قدما
إلى الأشكال. يمكن تطبيق فندق هيلبرت
لدائرة. يمكن اعتبار النقاط حول المحيط على أنها
ضيوف. إذا أزلنا نقطة واحدة من الدائرة
هذه النقطة ذهبت ، أليس كذلك؟ يخبرنا اللانهاية
لا يهم. محيط الدائرة
غير منطقي. إنه نصف القطر مضروبًا في 2Pi.
لذلك ، إذا حددنا النقاط التي تبدأ من الكل ،
كل نصف قطر على طول المحيط يسير في اتجاه عقارب الساعة
لن نصل إلى نفس النقطة مرتين ،
أبدا. يمكننا عد كل نقطة نحددها
برقم صحيح. لذلك هذه المجموعة لا تنتهي أبدًا ،
لكن يمكن عده ، تمامًا مثل الضيوف والغرف في فندق هيلبرت.
ومثل هؤلاء الضيوف ، على الرغم من تسجيل المغادرة ،
يمكننا فقط تحويل الباقي. نقلها
عكس اتجاه عقارب الساعة وسيتم ملء كل غرفة
تتحرك النقطة 1 لملء الحفرة ، النقطة 2
يملأ المكان الذي كانت النقطة 1 فيه ، 3 يملأ 2
وهلم جرا. نظرًا لأن لدينا عرضًا لا ينتهي من النقاط المرقمة ،
لن تترك أي حفرة شاغرة.
تم نسيان النقطة المفقودة. من الواضح أننا لم نحتاجها أبدًا
ليكون كاملا. هناك نتيجة حاجة أخيرة من اللانهاية
يجب أن نناقش قبل التعامل مع Banach-Tarski. إيان ستيوارت
اشتهر باقتراح قاموس لامع.
واحد أطلق عليه Hyperwebster. هايبرويبستر
يسرد كل كلمة ممكنة بأي طول
مكونة من 26 حرفًا في الأبجدية الإنجليزية.
يبدأ بحرف "أ" متبوعًا بحرف "أأ"
ثم "aaa" ثم "aaaa".
وبعد عدد لا حصر له من هؤلاء ، "أب"
ثم "aba" ثم "abaa" ثم "abaaa".
وما إلى ذلك حتى "z ،" za ، "
"zaa" وما إلى ذلك ، وما إلى ذلك ، حتى الإدخال النهائي في
تسلسل لانهائي من "z" s. هذه
سوف يحتوي القاموس على كل
كلمة واحدة. كل فكرة ،
تعريف ، وصف ، حقيقة ، كذب ، اسم ،
قصة. ما حدث لأميليا إيرهارت سيكون
في هذا القاموس ، بالإضافة إلى كل شيء
لم يحدث لأميليا إيرهارت.
كل ما يمكن قوله باستخدام
الأبجدية. من الواضح أنها ستكون ضخمة ،
لكن الشركة التي تنشرها قد تدرك أنها يمكن أن تأخذها
اختصار. إذا وضعوا كل الكلمات التي تبدأ بـ
أ في مجلد بعنوان "أ"
لن يضطروا إلى طباعة الحرف الأول "أ". سيعرف القراء إضافة حرف "أ"
لأنه الحجم "a". عن طريق إزالة الأولي
"أ" ، يتم ترك الناشر مع كل كلمة "a"
بلا أول "أ" ، والذي يثير الدهشة
تصبح كل كلمة ممكنة. واحدة فقط
من 26 مجلدا تم تحليلها إلى كل شيء.
نحن الآن على استعداد للتحقيق في هذا الفيديو
مفارقة اسمية. ماذا لو قلبنا شيئًا ،
شيء ثلاثي الأبعاد في Hyperwebster؟
هل يمكننا تفكيك أجزاء منه إلى كل شيء؟
نعم. أول شيء علينا القيام به
هو إعطاء كل نقطة على سطح الكرة
اسم واحد واسم واحد فقط. هناك طريقة جيدة للقيام بذلك وهي تسميتها بعد كيف
يمكن الوصول إليها من خلال نقطة انطلاق معينة.
إذا حركنا نقطة البداية هذه عبر سطح الكرة
بخطوات بطول مناسب تمامًا ، بغض النظر عن عدد المرات
أو في أي اتجاه ندير ، طالما أننا لم نفعل ذلك أبدًا
التراجع ، لن ينتهي به الأمر في نفس المكان
مرتين. نحتاج فقط إلى الدوران في أربعة اتجاهات لتحقيق هذا التناقض.
لأعلى ولأسفل ولليسار ولليمين
محورين متعامدين. سنحتاج
كل تسلسل ممكن يمكن إجراؤه
من أي طول محدد من هذه الدورات الأربع فقط.
هذا يعني أننا سنحتاج ليف ، صحيح ،
صعودا وهبوطا وكذلك اليسار ،
تركت لأعلى ، لأسفل ، لكن بالطبع لا
يسار يمين ، لأنه ، حسنًا ، هذا تراجع. الذهاب إلى اليسار
ثم الحق يعني أنك كما كنت قبل أن تفعل أي شيء ، لذا
لا يسار ولا يسار ولا صعود وهبوط
لا شكا من أسفل. لاحظ أيضًا أنني أكتب التدويرات بالترتيب
من اليمين إلى اليسار ، وبالتالي فإن الدوران النهائي
هو الحرف الموجود في أقصى اليسار. سيكون ذلك مهمًا لاحقًا.
على أي حال. قائمة بجميع التسلسلات الممكنة للدورات المحدودة المسموح بها
في الطول ، حسنًا ،
ضخم. لا حصر له ، في الواقع.
لكن إذا طبقنا كل واحد منهم على نقطة البداية
أنا
